Από τον φυσικό κόσμο στον αφηρημένο χώρο Hilbert
Η κβαντομηχανική απαιτεί μια ριζική αλλαγή παραδείγματος: την εγκατάλειψη της περιγραφής αντικειμένων που κινούνται στον κλασικό χώρο. Αντ' αυτού, χρησιμοποιούμε τον χώρο Hilbert, ένα μαθηματικό περιβάλλον όπου η κατάσταση ενός συστήματος αναπαρίσταται ως ένα διάνυσμα (vector). Αυτό το διάνυσμα δεν δείχνει σε μια τοποθεσία, αλλά σε μια κατεύθυνση μέσα σε έναν χώρο όλων των πιθανών μελλοντικών καταστάσεων.
Η αξιωματική θεμελίωση του von Neumann
Στη δεκαετία του 1920, ο John von Neumann πέτυχε να γεφυρώσει το χάσμα μεταξύ της μηχανικής πινάκων (matrix mechanics) του Heisenberg και της κυματομηχανικής (wave mechanics) του Schrödinger. Ορίζοντας τον χώρο Hilbert ως το πεδίο δράσης, απέδειξε ότι οι δύο θεωρίες ήταν απλώς διαφορετικές μαθηματικές εκφράσεις της ίδιας οντότητας. Ένας χώρος Hilbert ορίζεται από δύο βασικά χαρακτηριστικά: την πληρότητα (completeness) και την ύπαρξη εσωτερικού γινομένου (inner product), το οποίο επιτρέπει τον υπολογισμό της ευθυγράμμισης μεταξύ της κατάστασης και των αξόνων μέτρησης.
Δυναμική και κατάρρευση της κυματοσυνάρτησης
Η κίνηση εντός του χώρου Hilbert διέπεται από δύο κανόνες: την ομαλή, προβλέψιμη περιστροφή του διανύσματος πριν από την παρατήρηση και την αιφνίδια, τυχαία «κατάρρευση» (collapse) σε έναν από τους άξονες κατά τη στιγμή της μέτρησης. Η διάσταση του χώρου εξαρτάται από τον αριθμό των πιθανών καταστάσεων· για ένα qubit είναι δισδιάστατος, ενώ για ένα ελεύθερο σωματίδιο απαιτείται άπειρος αριθμός διαστάσεων.
Πέρα από τον χώρο Hilbert: Η αναζήτηση για μια βαθύτερη δομή
Παρά την επιτυχία του, ο von Neumann αργότερα αμφισβήτησε την απόλυτη επάρκεια του χώρου Hilbert. Σήμερα, οι φυσικοί εξερευνούν πιο αφηρημένες δομές, όπως οι άλγεβρες von Neumann, για να περιγράψουν φαινόμενα όπως οι μαύρες τρύπες και η δομή του χωροχρόνου. Η μετάβαση αυτή υπογραμμίζει ότι ο χώρος Hilbert, αν και εξαιρετικά χρήσιμος, αποτελεί ίσως ένα μόνο εργαλείο σε ένα ευρύτερο «ζωολογικό κήπο» μαθηματικών κατασκευών που περιγράφουν τη θεμελιώδη πραγματικότητα.